Cis!

Mengungkap rahsia Nombor Kompleks.

Arghh, ‘cis’ kamu!

Bayangkan seorang remaja sekolah mendatangi engkau dengan soalan yang melibatkan eksponen rational yang berbentuk,

\[(-16)^{\frac{1}{4}}\]

dan meminta tolong engkau menyelesaikannya.

Kita perlu bertanya: adakah wujud sebarang nombor nyata yang apabila dikuasakan dengan empat menghasilkan nilai negatif \(-16~?\) \[ y^4=-16 \]Secara logik, sebarang nombor nyata \(y\), apabila dikuasakan dengan nombor genap, hasilnya sentiasa positif.

Ini bermakna, tidak mungkin ada nombor nyata \(y\) yang dapat memuaskan persamaan \(y^4 = -16\).

Namun, jika kita pergi lebih mendalam, hal ini dapat diselesaikan dengan konsep nombor khayalan.

\[\cdot~\cdot~\cdot\] “Cis!!”, saya berkata.

Dengan wajah kebingungan, remaja itu memandang aku dan berkata dengan gugup, “Maafkan saya, bang.”

Aku tersenyum dan menjelaskan, “Bukan ‘cis’ yang itu, tetapi ‘cis(x)’ dalam matematik.”

“cis(x) = cos(x) + i sin(x)”, sambung aku.

Merungkap jawapan disebalik khayalan

Aku menerangkan bahawa dalam konteks nombor kompleks, kita boleh menggunakan kaedah ‘cis’ untuk menyelesaikan masalah ini. Jika dalam bentuk polar,

\[ -16=16~\text{cis}(\pi) \]

Di mana, \(cis(\theta)\) adalah \(cos(\theta)+i~sin(\theta)\).

Dengan mengambil punca kuasa empat,

\((-16)^{\frac14}=(16~\text{cis}\left(\pi\right))^{\frac14}\)

\((16~\text{cis}\left(\pi\right))^{\frac14}=2~\text{cis}\left(\frac{\pi+2k\pi}4\right)\)

\(\text{for}~k=0,1,2,3\)

Penyelesaian ini memberikan nilai-nilai berikut:

\(2~\text{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right),\quad2~\text{cis}\left(\frac{3\pi}{4}\right),\)

\(\quad2~\text{cis}\left(\frac{5\pi}{4}\right),\quad2~\text{cis}\left(\frac{7\pi}{4}\right)\)

Jika dalam bentuk eksponen adalah: \(2e^{i\pi/4},~2e^{3i\pi/4},~2e^{5i\pi/4}\), dan \(2e^{7i\pi/4}\)

Tidak semuanya yang berbunyi negatif itu membawa keburukan, maka Cis!

\[\cdot~\cdot~\cdot\]